前言

我们先从一个故事讲起吧。在从芝加哥大学拿到博士学位的两个月前，我开始在金融行业中找工作。我已经完成了博 士论文，然而，要找到一份工作并不容易。放弃了在大学里当教授的想法后，我花了一个月的时间去读John Hull 的那本书：Options and Other Derivatives”期权和“Futures，(《期货，其他衍生产品》)。帮我找工作的猎头打电话，说纽约有一家公司想尽快见我。那时候，我曾在三 家公司面试过，一家在俄克拉荷马州，一家在华盛顿，还有一家在纽约。可是，他们要么直接把我拒了，要么让我先等着，然后又开始不停地面试别人。猎头说这家 公司前景应该不错，不过他们不愿意为我支付飞机票。要么自己买票，要么就得放弃。我当时还只是个学生。去纽约的单程机票在机场当场买要五百美元，要是提前 几周预定的话，双程票才要一百五十美元。妻子和我商量了一下，然后帮我收拾了行李，开车把我送到火车站。我坐上了去纽约的火车。在火车上，我并没有睡意， 把Steven Shreve 在网上发的那份数理金融讲义翻来覆去地看，并设想着如果得不到这份工作我该怎么办。

飞机只要一个半小时的路程，火车走了差不多二十四个小时。火车到达纽约时，已是中午十二点了。我简短地拜会了一下我的猎头，就冲进了地铁，目的地是市区下城紧靠着华尔街的大通曼哈顿(Chase Manhattan) 大楼的第四十四层。

一点钟，一个和我年纪相仿的年轻人把我带进办公室，开始面试。“读过John Hull 的书？”

“读过。”

“如果我让你推导Black-Scholes 方程，你能做到吧？”

“没有问题。”

“既然没有问题，就不用了。他微笑着说：”

”“什么是波动率的偏态？

“波动率的偏态就是市场上看涨、看跌期权在Black-Scholes 方程中的隐含波动率的一条曲线。”

“所以说Black-Scholes 模型是错误的，对吧？ ”  

“可以这么说。 ”  

“如果你卖了个看涨期权，想对冲风险，你是应该买股票，还是卖股票？ ”  

“买股票”

“为什么？”

“因为看涨期权的Delta是正的。”

“为什么看涨期权的Delta是正的？”

“因为Delta等于N.d1/，所以是正的。”

“不用公式好不好？”

“那是因为看涨期权的价格曲线是递增的，而Delta是切线的斜率。”

“假定IBM每股的交易价为75元。有个没有截止日期的触及生效期权，当IBM股价首次涨到100元时恰好支付1美元，否则期权继续有效。这个期权的价格是多少？忽略红利并且假定波动率是百分之二十，利率为零。”

我想了一会儿，用Black-Scholes方程给了解答。“0.75元。”

答案虽然正确，但他不是很满意，他给了我一个更直观的解释。

“其实这个触及生效期权的值根本不依赖于波动率。为了对冲IBM股价首次涨到100元时支付的1美元只要买百分之一股的IBM股票即可。而为了买百分之一股的IBM股票今天要0.75元，所以公式是不必要的。作为一个好的计量分析师，不能总是依赖公式。”

“有 A，B两个足球队进行比赛，谁只要先积累地赢三场，谁就成为最后的冠军，因此它们最多比赛五场。你和另一个球迷将对每一场比赛打赌，赌注为x美元。如果你 赢了，你就得到x元，否则就输掉x元。每场比赛的赌注x元都是可调整的，完全由你决定。你的目标是通过一系列赌局，使得最后只要A队赢了你将赢得100 元，否则你将输掉100元。问题是第一场的赌注你该押多少呢？”

我用了一些符号表示比赛的输赢次序，作了十分钟的代数计算：“31.25元，对吧？”

“为什么不用二叉树来计算呢？就跟计算期权价一样的道理。”他说。“如果你进入一个十年的利率交换，你付每三个月的LIBOR利率，接受每六个月的固定利率百分之五。结果第二天十年的利率交换固定利率涨了零点一个百分点，你是亏了还是赚了呢？你的盈亏的贴现值是多少？”

“当然是亏了，由于我每年将要亏损一个百分点，而十年的贴现值之和是七点五左右，所以我亏损的贴现值是百分之七点五左右。”

“假定Black-Scholes方程成立，且无股票红利。如果股票价格为100元。无风险利率为百分之五。考虑一个一年到期的欧式看涨期权，执行价格就是100元。如果波动率为零，那么看涨期权的价值应该是多少？再告诉我怎样对冲这个期权。”

我试着回答完他的问题，他就出去了，接着又进来了一个人。

“你好，我是公司的一个交易员。听说Pouria的问题你都答上来了。我有几个问题，你准备好了吗？”

“你 听过俄罗斯左轮手枪问题吗？一把左轮手枪可以装六发子弹。一个赌徒在手枪里放了两发子弹，子弹在弹膛里是挨着的，然后把子弹轮盘随机地转了一下。他先朝自 己开了一枪。幸运的是，当然，你也可以说不幸的是，他还活着。接着轮到你。你是接过枪直接朝自己开枪，还是先随机地转一下轮盘再朝自己开枪呢？”

“能不能不朝自己开枪呢？”

“可惜这不是正确答案。”

“那我就直接朝自己开枪吧，因为我有四分之三的活的概率。可是如果转一下轮盘再朝自己开枪的话，我就只有三分之二的概率了。”

“一 个国王抓住了100个犯人。一天他决定把他们都处死。但是在处死之前，国王把他们召集起来，想给他们最后一次机会。他说将会给每个人一顶帽子戴在头上。每 顶帽子上随机写上1到100之间的一个数，作为编号，但允许重复。同时，每个犯人都可以看到其他人帽子的编号，但看不到自己的。每个人会得到一张纸条，犯 人自己在上面写下一个数。如果有一个犯人写下的数字和自己帽子的编号相同，所有的犯人都将被释放，否则所有人都将被杀掉。在国王给帽子编号之前，犯人们将 有十分钟的时间来讨论策略，在国王正式给帽子编号以后就不许再说话或者传递任何信息。这个策略将会是什么呢？”

当交易员问完了他的问题之后，风险组的头儿进来了。

“我问你个问题。看涨期权，同样执行价，同样到期日，波动率越高，价格是越高还是越低？”

“波动率越高，不确定性越高，所以价格越高。”

“看涨期权，同样执行价，到期日越长，价格是越高还是越低？”

“时间越长，价格越高”

“看跌期权是不是也这样呢？”

“应该不是的。”

风险组的头儿走了，公司的总经理进来了。“我只有一个问题。我们两个人做个交易。假定S&P指数今天的价格是1000，利率是零。S&P指数的一个月的远期是多少？”

“如果利率是零的话，一个月的远期就是1000。”

“如果一个月后，我给你S&P的指数，你给我1000元，这个交易是公平的了？”

“是公平的。”

“如果一个月后，我给你1000除以S&P这么多的美元，你给我1美元。这个交易还公平吗？”

就这样，一个接一个的人进来面试我。有的问题我答得对，有的我一时也不知道。最后，差不多七点钟了，最先面试我的那个年轻人又进来了。

“正 常情况下，我们还会让你再来一次。然而，考虑到你住在芝加哥，这次我们给你破例。我们决定聘用你。这是我们提供的待遇：我们将给你两万五千元的安家费。你 第一年的年薪将是九万元，年终时，根据你的表现，你将获得至少六万元的奖金。你享受的福利还包括医疗保险和养老金，还有免费的健身会员卡，我们其实认为健 身会员卡比什么都重要。你要不要回去先考虑一下，再告诉我们？”

“让我想一下。好吧，我接受。”

走出大通大楼时，我是一下子如释重负。我打电话给妻子，告诉她这个好消息。她对我说：“直接去机场的柜台买票，别管有多贵。忘了火车的事，快点回来吧。”

我马上打电话给了父母，告诉他们我终于有了工作，还说了薪水的情况，我的父亲在电话另一端喊到：“他们一定是疯了，一定是疯了！”

就 这样，我开始了华尔街的职业生涯。那个最先面试我的年轻人叫PouriaDehghanpour，是我日后工作的顶头上司。他是个很有才华的年轻人，教给 了我很多的金融知识。每年都会有很多毕业生在华尔街开始他们的职业生涯，学数学的、物理的、统计的、运筹的等等。无论专业背景是什么，他们都需要掌握这本 书中涉及的基本内容。

最新的金融定量方法主要是在西方金融行业中发 展起来。在日益开放的中国，金融专业人员对这些定量方法的需求将是巨大的。本书试图在此鸿沟上搭起一座桥梁。作者毕业于芝加哥大学 (UniversityofChicago)，并取得博士学位，接着就开始在华尔街工作。这些年以来，我有机会在金融行业的许多领域中都工作过，包括股票 衍生品、固定收益类衍生品和信贷衍生品等。很长一段时间，我都觉得很有必要写一本关于我工作所需专业知识的书，作为船桨，引领来者。

数 理金融是一门需要大量高等数学知识的学科，包括微积分、概率论、随机分析、偏微分方程和傅立叶分析等等。然而，数理金融毕竟是为实际的金融操作服务的。所 以，本书的目的不是介绍所有这些专门领域的背景知识，而是希望尽可能地把隐藏在这些专业知识背后的一些重要的、直观的概念以及它们和实际操作的联系讲清 楚。这个领域中一个很重要的原则是：读者应该明白，任何数理金融理论和模型都有它们的优点和局限。从这个意义上说，所有的模型都是错误的。我在书中再三强 调，理论和模型都是在某些对现实世界做了过度简化后的条件下成立的。读者应永远带着这些条件去理解这些理论，并要思考如果假设的条件不满足时，如何修改理 论。

金融衍生品主要包括三个部分：股票衍生品，利率衍生品和信贷衍 生品。考虑到这些理论可能占的篇幅，我希望分三部分来介绍。这本书为第一部分，介绍股票衍生品。在未来，我还希望写书来专门介绍利率衍生品和信贷衍生品。 学习金融衍生品模型，有三个境界。如果去问从事数理金融工作的人什么是衍生品模型的核心，也许能听到两种回答。第一种回答是，衍生品定价很简单，就是要计 算概率的期望值。而所谓Delta就是期望值对其函数变量的一阶导数。第二种回答是，衍生品价格不过是在风险中性概率测度下取的期望值，或通过建立 Black-Scholes方程，求解得到。所谓风险中性概率测度，就是假设任何资产的收益率都是无风险利率。具体数值实现是建立树或者用有限差分法。在 作者看来，任何优秀的金融衍生品模拟都有两个最重要的任务：一是衍生品的复制与对冲策略，以减少最终收益的不确定性；二是让复制与对冲尽可能少地依赖于模 型本身。因为本书是讲金融模型理论的，书中千方百计地建立各种模型，然而目标却是要使我们的方法独立于模型。这看起来似乎自相矛盾。我想，一旦读完本书， 读者一定会对此有更深的理解。那将是第三个境界。

下面介绍一下本书 的框架。本书包括两个部分：基础理论部分和高等理论部分。基础理论部分可以作为金融衍生模型方向一学期课程的教材，高等理论部分可以作为数理金融研究生的 课程，或是讨论班的讲课内容。作者强烈建议在金融机构、共同基金或对冲基金工作的交易员、风险管理师或投资经理熟悉本书中的基础部分。

本 书第一章先从利率的概念出发，给读者讲述了金融中的最基本的原则：现金的时间价值。接着本章介绍了世界各金融中心的股票指数，并且给出了所有这些指数的历 史变化图。本章还介绍了几种常见的股票衍生品。这些衍生品中既有大家熟知的看涨、看跌期权，也有最近两年才开始交易的方差和波动率互换。

第 二章介绍了一些常见的衍生品的投资组合。为了让读者更清楚这些投资组合的交易头寸能做什么，我们对每个衍生头寸都给出了损益图。同时，我们第一次用无套利 的原理给出了股票或股票指数的远期与现价的关系。读者将第一次领略衍生品模型根本不是源于什么概率的期望，而是要考虑复制收益的策略。

第 三章仔细研究了看涨、看跌期权的基本性质。这些性质与任何概率论模型和偏微分方程模型都无关。这是对上述的第二个原则的一个很好的阐释。在通常的教科书 上，这些性质会被Black-Scholes公式的一些技术性分析所证明，但实际上它们可以简单地由收益函数推导出来。这些性质以及推导出它们的方法将给 读者展示一个最基本的原理：无套利原理。在第二章的后半部分，我还介绍了一个在期权市场寻找套利机会的有用算法。基于这个算法，读者可以开发出一个简单的 软件。我在介绍这个算法的同时，详细地讲述了如果套利机会存在的话，如何通过一系列的交易达到套利的目标。

第 四章将给读者简单地介绍一下随机分析理论。如果读者已经学过这部分内容，当然会有帮助。然而，为了逻辑的完备性，我们还是列出了后面将用到的主要随机分析 的结果。对从没有学过随机分析的读者，我的建议很简单：就使用普通微积分，只不过把其中的求导法则换成It.引理就行了。读者不应该只因为不懂随机分析而 觉得阅读本书有困难。作者在开始工作之前就从没有接触过随机分析。

第 五章推导著名的Black-Scholes偏微分方程，并对看涨、看跌期权求解。在推导过程中，我们用到了重要的“自融资”和“无套利”原理，尽管那时这 两个概念还没有正式的定义。之后本章推导了希腊字母的计算公式。最后指出这个模型实际上并不完美，因为它不能解释波动率偏态效应。

第 六章使用概率论的方法研究金融模型问题。通常有两种方法研究衍生品定价：偏微分方程方法和概率论方法。这两种方法可以通过Feynman-Kac方程联系 起来。讲金融模拟的有些书只讲其中一种方法。然而，我相信那样做不能够一览这个领域的全貌，也不能学到很多有用的方法。本章将证明金融市场的资产定价基本 定理，这个基本定理把无套利条件与相对价格鞅测度的存在性联系了起来。然后本章构造了风险中性测度，运用鞅的表示定理证明了看涨看跌期权可以通过动态地交 易标的资产来复制出相同的收益函数，并再次给看涨看跌期权定价。本章还将介绍在很多实际中非常有用的计价单位变换技术和Girsanov定理。

第 七章把介绍过的方法应用到很多新型期权上，包括二元期权，亚式期权和回望期权等。新型期权已被广泛地用于投资银行间的交易。这一章还会讲到Merton的 用期权来计算信贷风险的模型。读者可以看到股票衍生品与信贷衍生品之间的关系。其实这个模型已经被广泛地用于各个投资银行或对冲基金机构。这一章还将介绍 期权动态对冲过程中的一些相关问题，并且第一次推导出了区域波动率模型。

第 八章介绍模型的数值实现。数值方法是一个很广阔的领域，完全的介绍超出了本书的范围。这一章介绍了在华尔街实际操作中一些常用的方法：二叉树、 MonteCarlo模拟和有限差分法。MonteCarlo模拟是概率论中的方法，而有限差分则是偏微分方程中的方法。这两种方法都可以在日常工作中有 效地帮助我们求解模型。特别是，在利用介绍二叉树的同时，本章又在离散的情况下解释了风险中性概率的来源。

第九章讨论CAPM数学模型。这章的内容与本书的其他部分是相对独立的。然而，考虑到它数学上的完美及其在共同基金管理上广泛的应用，作者认为在介绍金融模型的书中值得用一章来介绍它。

第十章介绍傅立叶变换方法。近几年来，这种方法在华尔街的定量研究中起着越来越重要的作用。我们不仅介绍了傅立叶变换方法，而且还介绍了拉普拉斯变换的方法。这两种变化在复解析平面上可以统一起来。

第 十一章开始介绍经典的Black-Scholes模型之外的一些模型。本章给出了两个这样的例子：Merton的跳跃扩散模型和Heston的随机波动模 型。对这两个模型，本章都给出了闭形式公式。事实上，大多数现代金融模型都可以归结为一个跳跃扩散模型，或者一个随机波动模型。

第 十二章介绍一些常见的华尔街定量工作的面试问题，并给出了解答。这些问题不是一般的习题，它们多是工作人员在实际工作中碰到的问题。学习这些问题有助于读 者总结衍生品定价的基本方法和技巧。在本书的第二部分作者尝试着向读者介绍一些更新的金融数学模型，作为对第一部分的补充。

第 十三章讨论了一个理论问题：在给定波动率偏态信息的情况下，如何证明无套利的存在。我们解决这个问题的方法是证明了鞅测度的存在性。为此本章证明了事实上 存在无穷多个鞅测度，这些测度可以实现所有的波动率偏态。本章先证明离散情形，然后证明一般连续情形。这就使我们看到，Black-Scholes模型远 远不是唯一的模型，甚至区域波动模型也不是可以模拟整个波动率偏态的唯一模型。这一章可以被看成是第三章的引伸。

第十四章介绍区域波动模型。这是一个扩散模型，但是可以模拟整个波动率偏态，所以要大大优于传统的Black-Scholes模型，同时也对第十三章的理论作了具体实现。

第十五章介绍一种新型期权。这种期权经常在年金产品中出现，在美国人的退休计划中很常见。本章将给出这种新型期权的一个完整解析公式，这可以视为标准Black-Scholes模型的一个应用。

第十六章研究一类“可加泛函”及其定价。在这一章，读者将看到怎样把偏微分方程工具、概率论工具、傅立叶变换和拉普拉斯变换在一起综合地使用。特别地，这章的结果可以用于亚式期权和其他新型期权的定价。

第十七章研究回望期权的定价问题。这章用到的方法是跳跃过程方法的一个推广，因为我们只要假设资产遵从Lévy过程。接着，作者将在本章证明一个很有意义的结果：回望期权可以用普通的看涨、看跌期权在有限个点上静态地对冲。这又是前面列出的第一个基本原则的一个实现。

第十八章研究一个漂亮的结果：。这些结果源“Doob不等式及其应用”于作者企图给变异互换定价。这一章对感兴趣的读者来说将是概率论与经典分析的一次美妙结合。

第 十九章是作者与PeterCarr合写的一篇论文。后者是华尔街著名的定量分析家，曾获得风险杂志(Risk)授予的2003年度最佳衍生品专家奖。我们 将揭示一般期权与变异互换之间的关系。我们也将研究如何用变异互换对冲普通期权。特别地，我们将推广抛物型Black-Scholes方程为椭圆型偏微分 方程。进一步，我们给出一个闭形式解。在这一章，读者将看到鞅、偏微分方程、MonteCarlo模拟、变异互换和普通期权等等之间的紧密联系。这一章是 整本书的最后部分，其内容可以看做是随机波动模型的推广，同时也是本书研究衍生品模型的高潮。藉 此书出版之际，我要感谢我的同事和朋友PouriaDeghanpour先生对我的工作的长期以来的支持。我也感谢PeterCarr先生，他的影响对本 书的出版是至关重要的。我感谢刘一玲主任和霍宏涛编辑的认真细致的工作。我感谢我的妻子，她在我写作此书期间承担了全部的家务并忍受了许多的不眠之夜。我 感谢我的祖父祖母、父亲母亲从小对我的辛苦培养。我也感谢我的岳父，岳母在我写此书期间曾给我的许多鼓励。最后我祝愿我们伟大的祖国繁荣富强。纽约， 2006年12月孙健